머리말
소인수 분해에서 여러가지로 헷갈려서 수학 자체를 포기하는 학생들이 정말 많이 있다.
새로운 단어들이 많이 나오고 비슷한 개념이 많이 나와서 그렇다.
위와 같은 상황과 함께 학교에서 잠깐 집중을 못해서 못 들은 내용 하나 때문에 그런 경우가 대부분이다.
학교에서 놓친 부분들을 학원이나 과외로 해결하기보단 개념정리를 통해 해결했으면 한다.
이 글은 다양한 개념정리 위주이며, 다양한 방법을 통해 이해할 수 있도록 여러방법을 정리해두었다.
만약 글 내용이 이해가 안간다면 내 방법이 아닌 것이므로 그냥 넘어가도 좋다.
이해가 가는 부분만 보면 된다.
만약 주변에 수포자가 있다면 소인수분해부터 공부하길 추천한다.
<선행개념정리>
1. 약수와 배수
(1) 약수(=인수) : 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수(1, 자기 자신 포함)
(2) 배수 : 어떤 수를 자연수로 곱했을 때 나올 수 있는 모든 수(자기 자신 포함)
2. 소수와 합성수
(1) 자연수 = 1, 소수, 합성수
(2) 소수 : 1을 제외한 자연수 중 약수가 1과 자신뿐인 수
(3) 합성수 : 1을 제외한 자연수 중, 1과 자신 이외에 다른 약수가 존재하는 수(약수가 3개 이상인 수, 소수가 아닌 수)
헷갈리는 내용
1. 1은 소수인가? (X)
2. 2는 소수인가? (O)
3. 1은 어떤 수의 약수가 될 수 있는가? (O)
4. 0은 자연수인가? (X)
3. 거듭제곱(제곱)
(1) 같은 수나 문자를 여러번 곱한 것을 간단히 나타낸 것
(2) '밑'을 '지수'번 곱한다.
(3) 특이한 점
㉮ 지수가 없는 수는 지수 1이 생략되어 있는 것이다.
㉯ 지수가 0이라면 밑이 어떤 수이든 그 수는 1이 된다.(밑이 0인 경우 제외)
㉰ 밑이 같은 수끼리의 곱을 할 때는 지수끼리 더하여 계산하면 편리하다.
소인수분해
소인수 분해란 무엇일까?
어떤 수를 소인수들의 곱으로 분리해서 표현한다는 의미이다.
오늘 이 글을 통해 아래의 목표를 달성해보자.
1. 인수가 무엇인지 알고 설명할 수 있다.
2. 소인수가 무엇인지 알고 설명할 수 있다.
3. 소인수 분해는 어떻게 해야하는지 알고 설명할 수 있다.
4. 어떤 수를 소인수들의 곱으로 표현할 수 있다.
1. 인수와 소인수
(1) 인수 : 어떤 자연수 a,b,c에 대해 a=b*c일 때, a의 약수 b, c를 a의 인수라고 한다.
라고 되어있는 책이 대부분인데 확실하게 알려준다. 인수 = 약수 이다.
인수 = 약수
이것 때문에 헷갈려서 문제를 못 푸는 경우가 많다. 여기서 제대로 확실하게 정리한다.
인수는 약수이며, 그렇기에 1도 포함이다.
(2) 소인수 : 인수 중에서 소수인 것
1은 모든 수의 약수, 인수이지만 소수는 아니기 때문에 소인수에 해당하지 않는다.
1 = 약수 (O)
1 = 인수 (O)
1 = 소수 (X)
1 = 소인수(X)
2 = 소수(O)
2 = 짝수인 소수(O)
2 이외의 소수 = 모두 홀수(O)
(3) 소인수분해 : 1보다 큰 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것
어떤 수를 소수들의 곱으로 표현하기 위한 방법
1보다 큰 이라고 되어있는 내용이 많아서 헷갈리는 학생들이 많이 있는데,
이 개념은 자연수 = 1, 소수, 합성수 라는 개념을 정확하게 알면 어렵지 않다.
수학을 하는 사람들은 이렇다. 정확하게 표현해야해서 쓸데 없이 말을 많이 해서 사람을 헷갈리게 한다...
쉽게 이야기 하면 어떤 수를 소수들의 곱으로 표현하는 것이다.
소인수라고 한 이유는 어떤 수의 약수 중에 소수로만 표현할 수 있기 때문이다. 큰 의미가 없다.
나는 이 개념을 소수분해라는 (없는)과정을 추가해서 가르치고 싶다.
왜냐하면 엄밀히 말해서 어떤 수를 인수가 아닌 소수들의 곱으로도 충분히 표현할 수 있기 때문이다.
(선행개념정리 3.-(3)-㉯ 참고.)
1. 12를 소인수분해
2. 12를 소수분해
소인수 분해를 하는 것은 아주 아름다운 수학적 방법이다. 저렇게 불필요한 숫자들을 적을 필요가 없기 때문이다.
하지만 소수분해라는 복잡하고 귀찮은 과정을 이해하고 나면 소인수 분해가 무엇인지 정확히 알 수 있을 것이다.
소인수 분해는 소수분해를 한 것에서 지수가 0인 숫자들을 모두 생략하는 과정을 담는다고 볼 수 있겠다.
소수 : 절대적인 숫자이다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... 이 숫자들은 어떤 상황에서도 같은 기준으로 정의되어 있다.
인수(약수) : 상대적인 개념이다. 기준이 되는 숫자에 따라 인수가 바뀐다. (2의 인수 : 1, 2 / 12의 인수 : 1,2,3,4,6,12)
소인수 : 소수와 인수의 합성어이다. 어떤 기준이 되는 수의 약수 중에서 소수인 것을 찾으면 된다.
소인수분해 : 어떤 수를 소인수들의 곱으로 나타내는 표현방법이다.
